M.c.d y m.c.m

El mínimo común múltiplo (m.c.m) es un número natural más pequeño que es múltiplo de dos o más números naturales. SOLO PUEDEN SER NATURALES.

El máximo común divisor (m.c.d) es el número más alto que puede dividir dos o más números enteros sin dejar resto o residuo.

Para calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor se debe descomponer en factores primos:

El primer número que estamos factorizando es 12. Tenemos que encontrar el número primo mas pequeño que pueda ser divisible por 12, el número 2.

Cuando el 2 no pueda seguir siendo divisible, en este caso el dos ya no es divisible con el 3, entonces se cambiará el número primo al siguiente más pequeño que pueda ser divisible. Así se hará hasta que el resultado de la factorización sea 1.

Se realizará exactamente lo mismo con el segundo número: 30

Después de descomponer ambos números, se ordenarán los valores primos según como fueron obteniéndose (SE ABREVIARÁN LOS QUE SE HAYAN REPETIDO MÁS DE UNA VEZ EN FORMA DE POTENCIA).

El M.c.d es el producto de los factores comunes con menor exponente.
El m.c.m es el producto de los factores comunes y no comunes com mayor exponente.

Es importante saber que todo número par mayor que 2 es suma de dos números primos (conjetura de Goldbach) y que todo número natural puede escribirse como producto de números primos (Teorema fundamental de la aritmética).

Ejercicios:

Calcula el m.c.d y el m.c.m de los siguientes grupos de números:

a)(49,105)
b)(240,50)
c)(306,132)
d)(84,96)

Divisibilidad

Es decir si un número es divisible con otro, o mejor explicado: que se puede dividir.
Por ejemplo el 36 y el 12.

12/36=2

Son divisibles, por lo tanto tienen divisibilidad. Sencillo, ¿Cierto?

Hay que tener en cuenta que: 

Un número tiene un limitado número de divisores: número que dividen a otro exactamente (el resultado es un número entero). 

Los número compuestos tienen más de dos divisores, mientras que los números primos tienen solo 2 divisores. 

Hay que considerar que el 1 no es un número primo, si no una unidad. 

Solo el dos es par y al mismo tiempo un número primo.

Por otra parte un número tiene un muchos múltiplos. Por ejemplo, el 0 es múltiplo de todos los números.

Actividades:

Indica si los números de cada pareja están emparentados por la relación de divisibilidad:

a)4897 y 13

b)1710 y 38

c) 560 y 4

d) 6014 y 97

e) 45747 y 51

Descomposición polinómica

La descomposición polinómica es la descomposición de un número, de la manera que se muestra a continuación.

Imaginemos que tenemos el número 23 y queremos descomponerlo.

23= 2*10+3*1

¿Por qué?, por que el dos se encuentra en las decenas, que es lo mismo a que se estuviera multiplicando por diez. El uno está en la parte de las unidades, que es lo mismo a que se estuviera multiplicando por 1. 

Ahora lo haremos con un número más difícil:

17364= 1*10000+7*1000+3*100+6*10+4*1

El uno está colocado en las decenas de millar, lo que significa que se multiplicará por 10000, el siete se encuentra en las unidades de millar y eso significa que se multiplicará por 1000, el tres está colocado en las centenas y se multiplicara por 100, el 6 está colocado en las decenas y se multiplicará por 10 y por último el 4 está colocado en las unidades y se multiplicará por 1.

Actividades, descompone los siguientes números:

a) 12

b)523

c)3542

d)88

e)908748

f)33647

Fracciones

Fracciones

Las fracciones son la expresion de una cantidad dividida entre otra cantidad. 

Al número de arriba lo llamamos Numerador, es el número de partes que tienes.
Al de abajo lo llamamos Denominador, es el número de partes en que se ha dividido el total.

Numerador

Denominador

Por ejemplo:

German fue a comprarle un pastel a Gibran porque fue su cumpleanos hace 2 dias, pero al tener el pastel en las manos, a German se le cayo el pastel y solo logro rescatar 1/4 parte del pastel de Gibran. ¿Cual es la cantidad de pastel que se perdio? 

                                                                        3/4 - 1= 1/4

Al analizar el probema, German solo pudo rescatar 1/4 parte del pastel y el resto se le quedo en el suelo, El pastel era solo 1 entero, ya que antes este pastel permanecia entero. Al quitarle 3/4 partes al entero, lo que sobraria seria 1/4 parte del pastel. A lo que responderiamos a la pregunta ¿Cual es la cantidad de pastel que se perdio?la respuesta seria 3/4.

¡¡Ahora te toca a ti!!

Resuelve el siguiente problema.

1.En un frasco de jarabe caben  de litro. ¿Cuántos frascos se pueden llenar con cuatro litros y medio de jarabe.

2.En una clase,  de los alumnos hacen el camino de su casa al colegio en coche o en autobús. Si los tres cuartos hacen el viaje en coche y  7 van en autobús ¿Cuántos alumnos hay en la clase? 

Numeros Romanos

PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS

Cuarto grado:

Números romanos: Este sistema emplea algunas letras mayúsculas como símbolos para representar ciertos números, la mayor parte de números se escriben como combinaciones de letras.

1.- Ordena de menor a mayor:

I, V, II, IX, X, VII, VIII, III, IV, VI

__________________________________________________________

2.- Completa las series:

X, XX, XXX, XL, ____, ____, ____, ____, _____, C

V, X, XV, XX, ____, ____, ____, ____, ____, L

Los números romanos fueron un sistema de numeración no posicional que se desarrolló en Roma y que fue utilizado por el Imperio Romano.
Este sistema emplea letras mayúsculas para representar ciertos números y la mayor parte de los números se escriben con combinaciones de estas.

Por ejemplo, para representar el 5 se utiliza la letra V, para representar el 10 la letra X, para representar el 1 se utiliza la letra I, para representar el 1000 se utiliza la letra M.

También es importante mencionar que solo se puede utilizar la letra I  para dar tres valores a un dígito: se puede escribir XIII, pero no se puede escribir XIIII. Para este último caso se utilizará el cinco, o la letra V y antes de esta el número 1 o I. Así: XIV

3.- Escribe con numeración romana:

15: ______ 29: ______ 80: ______

27: ______ 51: ______ 91: ______

4.- Relaciona los números:

DXXIII    MDXVIII   DCCIV       XIX

1518        19        523        704

Operaciones con Fracciones

Las Fracciones pueden operarse igual que los decimales y los números naturales, pero estas se realizan de diferente forma.
Al hacer sumas con denominadores iguales nada más se suman los numeradores; al ser sumas con denominadores diferentes se encuentra un común denominador (un número que sea múltiplo de ambos números), se divide el común denominador entre el primer denominador y el resultado se multiplica por el numerador. Este resultado sera el primer numerador de la suma. Se repite el proceso anterior para obtener ambos numeradores y simplemente se realiza la suma, y después se simplifica. Ejemplo:

Sucede igual en las sumas en las restas, lo único que se cambia son los símbolos de + por el de -

Para resolver multiplicaciones de fracciones se necesita multiplicar el denominador 1 por el denominador 2 al igual que con los numeradores. Luego se simplifica y Listo.
Ejemplo:

Para resolver divisiones se hacen operaciones cruzadas, o sea, se multiplica el numerador 1 por el denominador 2 y este resulta el numerador final. Se repite el proceso con los datos restantes, se simplifica y listo.

Ahora te toca a ti! Resuelve las siguientes operaciones de fracciones:

8/19 +  5/17 =

4/5   ×  3/15 =

5/9   +  4/3   =

12/34 ÷ 23/52=

Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras fue creado por Pitágoras, un filósofo y matemático griego, que contribuyó a la aritmética, geometría y las matemáticas.
Este teorema establece que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos.
Se le hace uso a este teorema en los Triángulos rectángulos (Triángulos con un ángulo de 90 grados). Establece que la Hipotenusa (Diagonal contraria al ángulo de 90 grados) al cuadrado es igual a la suma de los dos Catetos (las otras dos aristas) al cuadrado. La ecuación general es:

Triangulo Rectangulo

A²=b²+c²

Donde:

A= Hipotenusa

b= Cateto 1

c= Cateto 2

En general una ecuación se resolvería así:

A²=b²+c²

A²=(5cm)²+(3cm)²

A²=25+9

A²=34

A=√34

A=5.83cm

Ahora te toca a ti! Resuelve los siguientes ejercicios:

1. A²=b²+c² 

b=7cm
c=4cm

2. A²=b²+c²

b=40m

c=25m

problemas

1. A mi amiga Alicia le han regalado una caja de chocolates. Cada día se come 5 y le da a su hermana 4 para que la deje de enfadar.

¿ Cuantos chocolates quedaran en la caja después de 10 días ?

Lectura de números

Los números se pueden leer como palabras o escribirse como palabras, no solo con los números arábigos.
Un ejemplo sería:

5743

Se podría leer como cinco mil setecientos cuarenta y tres. O también un número escrito se puede cambiar a números arábigos. Ejemplo:

siete mil novecientos dieciocho 

Este se escribiría como 7918.

Hay que notar que las cifras después del 15 antes del 30 se escriben veinti- o dieci- contrario del resto de los números que se escribirían cuarenta y- cincuenta y-. Ejemplo:

18=Dieciocho

26=Veintiséis

49= cuarenta y nueve

53= cincuenta y tres

Ahora te toca a ti! Resuelve los siguientes ejercicios:

4859=

567200=

25347=

Ochenta mil doscientos cuarenta y siete=

Cinco mil trescientos noventa y cinco=

Sesenta mil doscientos siete=

Sumas y Restas

Sumas y restas

Sumas

Las sumas (o adiciones) son unas operaciones bastantes sencillas, en la cual consisten en agregar o adicionar (de ahí el nombre de adiciones) una cantidad a otra.

Repaso sumas y restas

Aqui estan algunos repasos de sumas y restas para que puedan practicar.

   5462+3920+3578= __________                 5863-3094-1625=_________

   3549+1274+8532= __________                 3446-2093-1457=_________

   1029+1456+2456= __________                 9373-6283-1562=_________

   6392+1927+0273= __________                 5595-1750-4867=_________

   

Sumas de fracciones

En matemáticas, una fracción, número fraccionario. Es la expresión de una cantidad dividida entre otra cantidad ; es decir que representa un cociente no efectuado de números. El conjunto matemático que contiene a las fracciones es el conjunto de los números racionales.

De manera más general, se puede extender el concepto de fracción a un cociente cualquiera de expresiones matemáticas (no necesariamente números).

Hay tres simples pasos para sumar fracciones:

Paso 1: asegúrate de que los números de abajo (los denominadores) son iguales

Paso 2: suma los números de arriba (los numeradores). Pon la respuesta sobre el denominador del paso 1.

Paso 3: simplifica la fracción (si hace falta)

Ejemplo 1:

1	+	1
4		4

Paso 1. Los números de abajo son los mismos. Ve directamente al paso 2.

Paso 2. Suma los números de arriba y pon la respuesta sobre el denominador:

1	+	1	=	1 + 1	=	2
4		4		4		4

Ejemplo 2:

1	+	1
3		6

Paso 1: los números de abajo son diferentes. Así que necesitamos hacerlos iguales.

Podemos multiplicar arriba y abajo de 1/3 por 2 así:

1	=	2
3		6

y ahora los números de abajo (los denominadores) son iguales, nuestro problema queda así:

2	+	1
6		6

Paso 2: suma los números de arriba y ponlos sobre el mismo denominador:

2	+	1	=	2 + 1	=	3
6		6		6		6

Paso 3: simplifica la fracción:

3	=	1
6		2

Ahora te toca a ti!

Realiza las siguiente suma de fracciones

8	+	3
4		5

(Escribe el resultado en los comentarios)

Raíz cuadrada

Esquema de la raíz cuadrada:

Las raíces cuadradas pueden ser aproximadas (la raíz es aproximada a el radicando) o exactas (la raíz es un número natural).

Para calcular una raíz se tienen que elevar los naturales al cuadrado (multiplicados por sí mismos) hasta aproximarlos al radicando.

Utilicemos este ejemplo:

Lo primero que se debe de hacer en una raíz cuadrada es dividir de dos dígitos en dos dígitos el radicando. En este caso solo hay un par de dígitos, esto nos quiere decir que la raíz cuadrada será un solo dígito. (Si hay dos pares la raíz será de dos dígitos, si hay tres entonces será de tres, etc.)

Ahora hay que fijarnos en el par de dígitos: 25, ¿hay algún número que multiplicado por el mismo de 25?

El 5.

Si quieres hacer raíces cuadradas más grandes, entonces se encontrará un número que multiplicado por el mismo se acerque al par que se trate. Cuando se encuentre, se restará con el radicando y al resultado se le añadirá el siguiente par. Luego, la raíz que ya se obtuvo se multiplicará por dos y se encontrará un número que añadiéndose al número multiplicado por dos que se multiplicara por este mismo número dará un resultado aproximado al resultado de la resta que se aplicó antes de todo esto. Ese resultado se restará con el otro. Por otro lado el número que se pudo añadir a el primer número que se obtuvo como parte de la raíz y multiplicar por él mismo será el segundo dígito que conformará la raíz y así se hará hasta terminar con todos los pares. 

Tal vez sea mejor con una imagen:

Multiplicaciones

La multiplicación es una operación matemática que consiste en sumar un número tantas veces como indica otro número. Así, 4×3 simplemente es igual a sumar tres veces el valor 4 por sí mismo (4+4+4). 

Es una operación diferente de la suma, pero equivalente; no es igual a una suma reiterada, sólo son equivalentes porque permiten alcanzar el mismo resultado. La multiplicación está asociada al concepto de área geométrica.

El resultado de la multiplicación de varios números se llama producto.

 Ejemplo : 

5x4= 20 

(5+5+5+5) = 20 

(4+4+4+4+4) = 20

Ahora te toca a ti!  Resuelve las siguientes operaciones:

5x5=                                                                                     6x8=

7x4=                                                                                     8x9=

3x2=                                                                                      10x1=

Potencias

Cuando se encuentra una potencia significa que un número va a ser elevado a otro. Esto es que dicho número se va a multiplicar por él mismo una cierta cantidad de veces.

Por ejemplo:

7²

Al 7 se le llama base, a el 2 se le llama exponente.

Esto quiere decir que el 7 se va a tener que multiplicar por sí mismo dos veces: 7*7= 7²

Ahora, necesitamos un resultado.

7*7= 49 

 7²=49

¿Lo entiendes?, ahora quiero que recuerdes unas cuantas reglas:

*Cuando  un número está elevado a la potencia 0, el resultado será 1.

*Cuando un número está elevado a la 1, el resultado será dicho número

También existe algo llamado potencia base diez, que seguramente utilizarás bastante en secundaria.

En una potencia de base diez se pone la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente.

Por ejemplo:

95*10⁹

Esto es completamente lo mismo a 95000000000

Problemas: Calcula el valor de las siguientes potencias:   

7^{2 =}

4^{0 =}

9^{1 =}

38^{0 =}

13^{1 =}

5^{3 =}

12^{2 =}

10^{6 =}

Proporcionalidad

Proporcionalidad

La proporcialidad es la relacion entre numeros o magnitudes.

Si hay una variacion directa entre 2 numeros, la relacion a menudo se nota y a esa razon constante se demonina constante de proporcionalidad.

La constante de proporcionalidad se representa con una k.
Para sacar la constante es necesario dividir la cantidad de la 2da. magnitud entre la que corresponde a la 1era. magnitud

Ejemplo:

Pablo trabaja en un basurero y es el encargado de poner la basura en recicladoras, Pablo se dio cuenta que 5 toneladas de basura serian suficientes para hacer funcionar al menos 1 recicladora, ¿Cuantas toneladas seran necesarias para hacer funcionar 2 recicladoras?

Recicladoras                       1         2            
Toneladas de basura           5        10

La  constante se obtiene si divides las toneladas de basura entre las  recicladoras ,haciendo que la constante sea 5. 

Al  multiplicar la constante se puede obtener los demas datos de una tabla ( 5x2=10 ) haciendo mas facil el resolver el problema.
                                                                 
!!Ahora te toca a ti!!

Resuelve los siguientes problemas:

Daniel trabaja en una fabrica de calzado. Para cada par de tenis se necesitan 2 agujetas. Ayudale a Daniel a encontrar las cantidades que faltan en la siguiente tabla. Encuentra la constante de proporcionalidad y resuelve las preguntas:

Tenis Deportivos

Tenis (pares)             1      2      5      7     10     15      20        

Agujetas                   2    


                                                                                     
¿Cuantas agujetas se necesitan para 100 pares de tenis?

¿Como es que lo sabes?

¿Cual es la contante de proprcionalidad?

Metacognicion: (en los comentarios):

1. ¿Te fue dificil responder la tabla?

2. ¿Le entendiste al tema?

3. ¿Que fue lo mas dificil de este tema para ti?

Las adiciones

Las sumas son adiciones de un número a otro, por ejemplo:

 67 es 60 + 7

Se representan con el signo +,  que indica que el número es positivo y que puede complementarse con el otro número que también es positivo.

Cuando existe un número negativo, entonces los números no se complementan y el de mayor valor es el que logra ceder su signo al resultado. Por ejemplo:

60-7

Esto quiere decir que el 60 es positivo y el 7 negativo, se deben de restar y el resultado sería 53. El resultado es positivo, pues el 60 tiene un valor mucho más grande que el -7 

Es importante que recuerdes que el + no es necesario que se coloque si el signo es el primero en la operación, como es el caso de el segundo ejemplo! pero sí está en algún otro lugar (como en el primer ejemplo) entonces si será necesario colocarlo.

Ahora encuentra el valor de las siguientes sumas, recuerda que los dígitos pueden variar, encuentra la respuesta más lógica.

18 es __ + __                                    39 es __ + __                   

78 es __ + __                                    91 es __ + __

27 es __ + __                                    46 es __ + __

Mayor, menor e igual

Se utilizan los signos < y > cuando queremos indica que un número es mayor o menor a otro. Por ejemplo, imaginemos que tenemos este número:

17 

17 es más grande que 14, por lo tanto lo expresaremos de la siguiente manera: 

17>14

O

14<17

Por otra parte, cuando dos números son iguales, entonces ponemos el signo =

Así qué podríamos afirmar que 17=17, como podemos afirmar que 14<17 y que 17>14

Ejercicios:

Ordena los siguientes números de mayor a menor, es decir del mas chico al mas grande

51 - 37 - 69 - 20 - 21 - 40 - 73 - 18

____>  ____> ____ > ____ > ____ > ____ > ____ > ____

Sumas

Una suma es una adición de un número a otro, se utiliza el signo +

Por ejemplo:

56+12= 68

¿Por qué 68?, tenemos el número 56, y a este le agregamos 12. RECUERDA QUE LE TENEMOS QUE ADICIONAR AL NÚMERO 12 VECES EL 1.

SERÍA 56+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 =68

¡AHORA TE TOCA A TI!

Resuelve correctamente estas sumas.
32+45=
24+66=
45+13=
38+37=                            

Operaciones con paréntesis.

Cuando se hacen operaciones combinadas (Operación en la que se suma, se resta, se divide y se multiplica) se suelen hacer uso de los paréntesis.

Cuando se coloca un paréntesis en una operación combinada, por ejemplo:

4+(5+9-6) = 

Lo primero que se debe de realizar son las operaciones dentro de este. "Se suprime el paréntesis".

4+(8)=

Cuando se suprime dicho paréntesis, se realizan el resto de operaciones (primero las multiplicaciones y divisiones, luego las sumas y las restas):

4+8= 12

Hay otras veces en las que además de paréntesis se coloca un corchete: 

6-(5-3)-[7-(-1-4)]=

En estos casos se suprimirán primero los paréntesis y a continuación los corchetes. Después el resto.

6-5+3- [7+1+4]

6-5+3-7-1-4= 

9-17= -8

AHORA REALIZA TÚ EL RESTO DE LOS EJERCICIOS:

a) 25 -(7+4-2)=

b) 7-2+(-4+12-3)=

c) (34-6) + (4+7)=

d) 9+2 * (8-3)=

e) (5-1) - (-4+2) +5 * (8-6)=

f) -(5+6)-[-4-(7+3)]=

g) 10-[-6+(-8)-4]-(-3-2)=

Redondear

Cuando se redondea se estima un número aproximado al número que se desea redondear. Por ejemplo:

Se desea redondear a centenas la siguiente cantidad:

26,459 

Lo primero que se realizará será identificar las centenas:

26459

Listo, el número que representa las centenas es el 4. ahora se debe identificar el número que se encuentra a la derecha del 4... el 5.

Para redondear se debe tener en cuenta que el número que se encuentra a la derecha de las centenas (en este caso el 5) sea menor o mayor a 5.

Si el número es mayor a 5 o igual, la cantidad se redondeará sumando un 1 al dígito que se está redondeando. Si es menor que 5, entonces se dejará el dígito. TODOS LOS NÚMEROS QUE SE ENCUENTREN A LA DERECHA DE EL QUE SE ESTÁ REDONDEANDO SE CONVERTIRÁN EN 0.

Continuemos con nuestro número: 26459

El cinco es igual a cinco, por lo que se sumará un 1 a el 4 y el resto de números a la derecha se convertirán en 0.

El resultado sería así:

26500

 Ahora imaginemos que nuestro número era: 26449.

El cuatro es menor a cinco, por lo que se deja como está y los dígitos de la derecha se convertirían a 0:

26400

AHORA REALIZA TÚ EL RESTO DE ESTOS EJERCICIOS:

1-. Redondea a centenas:

A) 287

B) 278,920

C) 36,971

2-. Redondea a decenas de millar:

A) 833,397

B) 468,894

C)878,712

D)99,999